作者系东吴大学数学系助理教授吴牧恩（Mu-En Wu）的一个主题演讲，他致力于推广资金管理的数学与研发金融交易策略，期望破除市场上大众追求稳定盈利的迷思。吴牧恩教授主要研究专长为资讯经济和市场预测。

我常喜欢用交易比做人生，交易有赚有赔，人生也是起起伏伏，仿佛山势高低连绵不绝。而人生曲线就像累计损益一样，我们最期待的就是天天创新高，最害怕的便是创新高后的回撤，俗称draw down (DD)。

如果人生像铜板赌局（固定胜率(win rate)、固定赔率(odds)）那么简单，那是多美好的一件事。但就算简单如铜版赌局，只怕我们还是抓不住看不透，更何况人生肯定比铜板复杂很多。

本篇我想叙述的重点：

用铜板看人生，为何人生不如意十常八九？赌小一点，步步为营方为上策！

考虑胜率50%，赔率为2的铜版赌局，我们都知道凯利法则（Kelly criterion）给了最佳解，也就是每次下注总资金的25%为最佳下注比例。这25%是如何计算出来的，可参考之前写过的文章：《数学家的赌局，凯利公式推倒证明》！。很多人初次看到凯利，都以为这就是交易的圣杯了，毕竟数学上的最佳化不会错。但别忘了凯利公式推导的两个假设条件：

1. 假设赌局可重复玩无限多次。(可惜人生交易没有天长地久)

2. 假设赌金可无限分割。(可惜万物只有离散没有连续)

事实上，人生是无法天长地久的，任何赌局或策略都会有结束的一天。因此实际的状况是，某交易策略大约只会执行个20次、30次、或是100次之类就舍弃不用之类的。另一个重点是凯利假设赌金可以无限分割。只要不是全押，在有利可图又可玩无限多次的情况下，绝对会有起死回生的一天，重点是过程中遭受的回撤你是否撑得住?　

我们做个简单实验，假设胜率50%赔率为2的赌局，玩30次就好。我们现在有兴趣的不是最后赚多少，而是在赌局的过程中，最大回撤的程度。

为什么考虑这个问题呢? 这非常实际。试想一下我们用最佳下注比例图的是可以赚最多，但为了赚最多，你可能在过程中也承受相对大的风险。重点是过程中，你是不会知道最后是可以“赚最多"的。因此某种程度来说，赌局的"最佳下注比例"有点所谓的后见之明。当你知道赌局的固定胜率与赔率，你可以放心地用最佳下注比例"无限次"的赌，只要次数够多，总有一天赚回来。但对一个交易策略来说，过去的胜率不代表未来的胜率，当一个策略已经让你从高点回撤30%、50%、甚至70%，你还敢用吗? 你可能早就放弃，你的信心动摇了，根本就不敢想还有东山再起的一天。

那究竟铜板赌局的最佳比例下注，过程中会承受多少风险呢? 这篇文章用的风险指的是最大回撤 (Maximum Draw Down, MDD)。　

下图为胜率50%，赔率为2的赌局，横轴为连续玩的局数，纵轴为连续玩的过程中，遭遇到的最大回撤(MDD)。由于每次模拟结果都不一样，故我们模拟10,000次用箱型图(BoxPlot)表示其MDD的分布。

因为最佳下注比例为25%，也就是只要一次损失，就是赔当下总资金的25% (蓝色虚线)。我们可以观察到，平均玩到10局的过程中，遭遇到最大回档的期望值有60%，如果继续玩下去，当玩到30局以后，遭遇到最大回档可能高达80%。想想有多少人在回档80%后，还有信心继续赌下去的?

如果我们赌小一点呢? 一样胜率50%赔率为2的赌局，但我们每次只下注10%，如下图所示：

就算玩到50局，过程中遭受的最大回撤也只到40%附近，赌小一点确实带来相对的好处。但别忘了，最佳下注比例是期望报酬最大，当玩的次数过多也赚得越多，却也要承受相对大的回撤。如果下注10%玩到300局，那过程中的期望回撤还是会到达60%。

再来我们来看固定局数下，不同下注比例的最大回撤值，我们搭配着期望报酬去比较。下图横轴为下注比例(1% ~ 100%)，左边纵轴为期望最大回撤，右边纵轴为报酬。

一样考虑胜率50%赔率为2的赌局玩30局。最佳下注比例的期望报酬达到5.85倍，但期望最大回撤却有73.3%(蓝虚线)；如果用一半凯利公式下注(约12%)，期望报酬为3.73倍，期望最大回撤却只有42.4%(紫虚线)。

以上两种下注比例你觉得哪个好？如果你用最后报酬去看，当然是凯利比例好，因为这是数学上的报酬最佳化。但重点是人性在赌的过程中，遭遇到73%的回档你是否还愿意继续下，谁又知道在赔了73%后最后会是报酬最高呢? 这就是个考验了。

另一方面，若用 "报酬/回撤" 看待，一个是 5.85/0.73 = 8.013699；另一个是 3.703/0.424 = 8.733491，以CP值（性价比）来说，半凯利还稍稍略胜凯利！

凯利给了铜板赌局的最佳化，但这个最佳是期望报酬的最佳，是在可以玩无限次数，资金可以无限分割下的最佳。为了达到这样的最佳，你可能也会承受正常人不能承受的回撤风险。人生何尝不是如此，要到达登峰造极的境界，想必也承受了正常人所不能忍受的责难痛苦。

“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为：所以动心忍性，增益其所不能。”

大概就是这个道理吧！

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